Kvarteto je pojmenováno podle houslisty Josefa Suka (1929-2011), jedné z největších osobností houslové generace 20. století, vnuka skladatele Josefa Suka a pravnuka Antonína Dvořáka. Poctu nést název po tak významném českém umělci iniciovala souboru nejrenomovanější česká instituce v oblasti komorní hudby - Český spolek pro komorní hudbu s laskavým svolením manželky Josefa Suka, paní Marie Sukové. Soubor tak navazuje na bohatou tradici českých komorních souborů, především pak slavného Sukova tria. Ansámbl byl založen houslistou Radimem Krestou v r. 2007 původně ve složení klavírního tria pod názvem „Taras Piano Trio“. V tomto obsazení dosáhl soubor řady ocenění na mezinárodních soutěžích. Od druhé poloviny r. 2012 hrál ansámbl pod názvem „Ensemble Taras“ v obsazení klavírního kvarteta. Pod názvem „Klavírní kvarteto Josefa Suka“ vystupuje soubor od roku 2014.
Jedinečný revival mapuje poslední období koncertování skupiny The Beatles.